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利用“不变量”探究数学问题
来源:互联网 sk012 | 刘兵强
【分  类】 基础科学
【关 键 词】 问题探究教学;变量与不变量
【来  源】 互联网
【收  录】 中文学术期刊网
正文:

  【摘要】数学问题易受到变量的混乱,教学中可找到不变量,分析相关的问题,找到解决问题的途径。本人从数学的几何定理教学、代数教学及解题、问题探究教学,分析抓住“不变量”,引导学生掌握数学知识,提高分析问题能力,提升数学素养。

  【关键词】问题探究教学;变量与不变量

在数学的教学过程中,常发现学生对数学问题的理解,受到题中的一些可变量与不可变量困惑,造成思维上的混乱,影响了正常的解题,学生总是说,对题中的可变量,真是变化莫测,对某一方面或某一时刻理解了可变量,到了别一处,这个可变量又变了,真是捉摸不透,而对不变的量,认为是静止的,不可再有什么思维。究其原因,是学生对变与不变的量,缺乏整体的认识,找不到变量与不可变量之间的内在联系,找不到它们的辩证关系,从而无从下手解题.下面结合自己的教学实践,引导学生进行探讨带有变量与不变的量的数学问题。 利用“不变量”探讨定理的成立。 1、勾股定理的证明 教学时可用四个相同的直角三形拼成如下的图形:正方形. a b c 教学时,可引导学生思考,大正方形的边长是多少?,面积可以表示为:;同时,图形又是由四个相同的直角三形和边长是c的正方形组成,面积又可表示为:;根据同一个图形面积的不变性,可得:,通过计算得到:,这就是勾股定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、 证明:n边形内角和公式 教学时可过n边形的一个顶点出发作对角线,将n边形分为()个三角形,而每个三角形的内角和度数是不变的,都是,所以n边形内角和是:。

< >应用题中的“不变量”往往是列方程式依据,同时配成的含药50%的防腐药水中含“纯药”是,含药30%防腐药水为x kg中含“纯药”是%x kg,含药75%防腐药水为中含“纯药”是75%,不变量就是配成前的“纯药”与配成后的“纯药”是相等的,可列方程:,解得:,因此,需含药30%防腐药水为10kg,则含药75%防腐药水为8kg.

< >几何图形中“不变量”往往是探求问题关系的依据分析: 由于梯形分别给对角线和中位线分割,分成的面积比有了变化,但梯形的上底与下底的长是不变的量.设梯形的上底长为a, 下底长为b,高为h,如图,三角开形ABC的面积为, 三角形CDB的面积为.由于己知三角形ABC面积与三角形CDB面积比为1:2,所以:=1:2,所以a:b =1:2,令a=k,则b=2k,根据梯形中位线定理,EF=.又EF是梯形的中位线,那么梯形AEFB和梯形ECDF的高都是梯形ACDF的高的一半().梯形AEFB面积:梯形ECDF面积:

故选( C).

  教学策略: (1)引导学生分析清楚题中的不变的量:梯形的上底、下底及高,对角线分梯形的面积比1:2. (2)让学生找到所求的问题:中位线分梯形的面积比是多少? (3)让学生思考“不变量”与所求量的关系,从不变的量出发,可找到梯形上底与下底的关系为1:2,又可找到隐含条件,中位线分成的两个梯形的高相同,故可求出所求的两个梯形的面积比.

例4 从等边三角形内一点向三边作垂线.己知这三条垂线的长分别是1,3,5.求这个等边三角形的面积.

  分析: 我们知道求等边三角形的面积,须知它的边长,故可设等边三角形的边长为a,一方面,根据题意,等边三角形和面积是:

另一方面,等边三角形的高为,所以.等边三角形的面积是.而同一个等边三角形的面积是不变的,故有:

=.解得.等边三角形的面积是: =.

教学策略:(1)引导学生分析题中的“不变量”:等边三角形的边长及得到的面积,三条垂线比1:2:3.(2)明白题意要求的所求量:等边三角形的面积是多少? (3)从不变的量出发,探求所求的量.设等边三角形的边长为a,则可求出面积为,又从三条垂线比1:2:3,可得到等边三角形的面积为:

.

  又同一个等边三角形面积的不变性,可得到关系:

=

  即可求出等边三角形边长及面积

< >抓住代数式求值中条件“不变量”.若求代数式的值.的值为0,就是一个“不变量”.(2)确定所求量,本题所求量易知: =?(3)从 “不变量”出发探求所求量:把所求代数式:

转化为含的代数式的形式,并代入计算,即有:

< >利用不变量探究变化问题研究(3):如果折成图③的形状,猜想∠1、∠2和∠A的数量关系,并说明理由.

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